一类典型磁力摆的全局动力学行为分析

　　摘要考虑一类等边三角形排布的典型磁力摆,基于对其全局动力学行为的分析,研究初值敏感性现象及其机制.首先,考虑磁铁位置可以移动,利用牛顿第二定律建立该磁力摆动力学模型.进而,分析不同的磁铁位置所对应的平衡点个数及其稳定性.在此基础上,数值模拟初值敏感性现象和不动点吸引域随磁铁位置移动的演变规律.最后,通过实验验证该现象.研究发现,该类磁力摆普遍存在着多吸引子共存现象,其初值敏感性可归因于其不动点吸引域的分形,其中各不动点位置与磁铁中心投影到磁铁所在平面上位置并不重合,而存在微小的偏差;当摆球位置可投影到三个磁铁对应的等边三角形的形心时,三个吸引子的吸引域尺寸相当,呈中心对称状且分形,因此初值敏感性现象很明显;而移动磁铁位置则会直接影响到各吸引域的形态,即离摆球平衡位置投影点近的磁铁对摆球影响最大:离该位置最近的吸引子吸引域会明显变大,而其它吸引子的吸引域则会被侵蚀消减.本文的研究在磁力摆装置设计方面具有一定的应用价值。

　　关键词：磁力摆,初值敏感性,多吸引子,分形吸引域

　　单摆是最简单的和最丰富的物理系统之一[1].其中典型磁力摆作为常见的物理实验装置[2,3],通常由一个摆球和若干个的永磁铁组成,摆球通过吊线固定,永磁铁放置在底座上以磁力作用在摆球上[4,5].同时,磁力摆系统也代表了一类含多共存吸引子现象的系统之一,对含多共存吸引子现象的系统研究也是学者们研究的热点问题.Marino等[6]通过实验研究高精度光力学谐振器中由辐射压力和光热效应引起的多时间尺度动力学,阐明该系统存在多共存吸引子现象.杨科利[7]研究了耦合不连续系统的同步转换过程中的动力学行为。

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　　通过计算耦合不连续系统的同步序参量和最大李雅普诺夫指数随耦合强度的变化,发现两类周期吸引子和同步吸引子同时存在,系统表现出对初值敏感的多共存吸引子现象.Zhang等[8]在Hopfield神经网络中引入非理想磁通控制的忆阻器模型,构造了一种具有多个双涡卷吸引子的新型忆阻模型,利用理论分析和数值模拟观察到该系统多共存吸引子现象.Lai等[9,10]提出一类新的混沌系统。

　　利用数值模拟和实验阐明该类系统具有无穷多的平衡点和多共存吸引子现象同时,磁力摆代表了一类具有非线性特性和不可预测性的有趣物理系统,其表现出的物理现象和背后的动力学行为研究一直是学者们关注的热点.Sanz11通过将磁力摆系统的三个永磁铁设计为电磁,并在电磁铁放置基面上设置超声波传感器来测量摆球运动的位置,设计一种具有多变量、非线性和混沌过程控制的实验装置,用于非线性系统的相关控制研究.

　　Kraftmakher[12]设计一种将两块永磁铁放置在一根薄的铝棒上,并设置旋转运动传感器组装的磁控摆实验装置系统,得出该系统可用于研究非线性振荡和混沌运动,改变摆球的设计参数可以使实验适用范围更广.Wijata等[13]设计一种单摆在一定角度范围内摆动,下方放置在一块永磁铁的磁力摆实验装置系统,通过数值模拟和实验研究该单磁摆单侧振荡具有不同的周期性.Motter等[14]对三个永磁铁呈等边三角形排布的磁力摆装置进行数值模拟和实验研究,提出该磁力摆系统摆球不规则运动受瞬态混沌鞍[15]的瞬态相互作用的控制,认为是瞬态混沌现象[1618].Khomeriki[19]通过设计一种具有磁力驱动的阻尼驱动摆实验装置系统,通过数值模拟研究该系统参数共振和混沌的存在性及其相互关系.

　　同时,对于磁力摆系统表现出来的有趣物理现象背后的动力学行为,学者们同样开展了一些研究.D’Alessio20通过数值模拟研究三个永磁铁呈等边三角形排布的磁力摆装置的摆球运动轨迹路线,提出该系统对初始条件的敏感依赖性,是演示与“蝴蝶效应”[21]相关联和类比天气预测的一种简化系统.Mann[22]通过一个横向放置的单摆和两个磁铁组成的磁力摆实验装置系统来研究其动力学行为,对准稳态逃逸准则进行了拓展,得出一个平衡点的振荡能克服相邻的势垒并逃逸到相邻的吸引子的阈值准则.James等[23]通过数值模拟研究四个永磁铁呈正方形排布的磁力摆装置系统,得出该系统摆球复杂运动轨迹与分形有关,并通过估计分形维数来研究摆球对初始条件的敏感性现象.

　　从目前的研究进展来看,典型磁力摆系统存在初值敏感性行为是公认的事实,但是引起该现象机制的理解尚存在分歧:有些学者认为该现象应归因于混沌或瞬态混沌,另外一些学者认为该现象源于吸引域分形为此,本文考虑一类磁铁位置可调节的典型磁力摆系统,分析其全局动力学行为,特别是初值敏感性现象的机制.结构安排如下:首先,对该类磁力摆系统建模;第三节,变换磁铁位置,分析不同磁铁分布情况下磁力摆系统的平衡点个数和稳定性;第四节,数值模拟磁力摆系统的初值敏感性现象;并在第五节通过设计实验验证该现象;最后,进行总结2磁力摆动力学简化模型本文以一类等边三角形排布的磁力摆为研究对象,其中横竖支杆作为吊接摆球装置,小圆盘作为放置三个永磁铁装置,大圆盘设置有滑槽,配合小圆盘移动永磁铁位置,U形支座用于校验实验装置是否水平,磁力摆简化计算模型.

　　在建立磁力摆运动数学模型方程之前,作出以下三点理想化假设[24](1)磁力摆吊线的长度远远要比磁铁间的距离长,因此,可以假定摆球是在平面上而不是在较大半径的球面上运动,即保持不变(2)磁铁是一个吸引点,位于磁铁放置基底平面上,三个磁铁在平面上呈等边三角形放置,即ABACBC,且每个磁铁中心位于等边三角形顶点上(3)某个磁铁作用在摆球上的力与两者的距离的平方成反比

　　实验验证本节将通过实验来验证该磁力摆系统的初值敏感性现象.传统的实验验证方法[24]是在磁铁固定板上涂满荧光剂,然后在摆球上安装感光灯,会使荧光剂发光来跟踪摆球运动轨迹,但荧光剂发光亮度会受到限制和发光时间也有限,得到的实验轨迹图效果并不理想.

　　为此,本实验采用可调节亮度的LED微型信号灯位置粘贴在摆球与吊线连接处,尺寸2mm1mm,质量2mg),用摄像机延时拍摄功能直接跟踪摆球上灯光轨迹,从而来直观记录下摆球运动的轨迹验证初值敏感性现象.由于LED微型信号灯质量远远小于摆球仅相当于摆球质量的04),因此忽略其质量,并不定性影响该系统的动力学行为.

　　根据实验目标准备如下实验装置器材:横向支杆、竖向支杆、紧固支杆螺栓、竖向支杆底座、圆形透明有机玻璃座、三个扁平圆柱体钕铁硼永磁铁、带孔摆球、吊线、两根直径为0.1mm细导线、一个220色环电阻、一个调节范围为至550电位器、一个LED微型信号灯、5V电压接线、5V电源、摄像机、三脚支架等. 为了让摄像机能够更好地进行捕光工作,将整个实验装置放置在较暗环境下;同时,为减小实验效果误差,将摆球吊线涂成黑色,从而避免反光影响摄像机捕捉摆球上光轨。

　　结论

　　本文基于对磁铁位置可调节的典型磁力摆为研究对象,建立了无量纲化动力学运动微分方程;改变磁铁位置,分析七组不同磁铁位置下磁力摆系统的平衡点个数,并判断了每组平衡点的稳定性;通过数值模拟研究磁力摆系统的初值敏感性现象及其机制和不同磁铁位置对应的吸引域演变规律.最后,通过实验验证该磁力摆系统的初值敏感性现象.主要得到以下结论

　　(1)该磁力摆系统存在三个共存吸引子,初值敏感性现象归因于不动点吸引子的吸引域分形,而非混沌(2)每组稳定的平衡点即不动点位置与磁铁中心投影到xy平面上位置并不重合,而存在微小的偏差,偏差与重力恢复力相关的弹性系数和摆球距磁铁所在平面之间的最小距离这两个设计参数有关。

　　(3)当摆球可投影到三个磁铁对应的等边三角形的形心位置时,三个磁铁吸引子的吸引域区域面积相当,呈中心对称状且分形,初值敏感性现象很明显。

　　(4)移动磁铁位置则会直接影响到三个磁铁吸引子的吸引域形态,即离摆球平衡位置投影点近的磁铁对摆球影响最大,也就是离其最近的吸引子的吸引域会明显变得越来越大,其它吸引子的吸引域则会被侵蚀消减。

　　作者：秦波尚慧琳†蒋慧敏

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