本文摘要：摘要本文使用计算机MATLAB编程,用蒙特卡罗数值方法对正方形内任意两点的平均距离、伽尔顿板、传染病的传播三种情况进行了模拟分析。其中,正方形内任意两点的平均距离与伽尔顿板两组实验结果与常规实验得到的结果相符合,从而验证了蒙特卡罗方法在物理研究中是
摘要本文使用计算机MATLAB编程,用蒙特卡罗数值方法对“正方形内任意两点的平均距离”、“伽尔顿板”、“传染病的传播”三种情况进行了模拟分析。其中,“正方形内任意两点的平均距离”与“伽尔顿板”两组实验结果与常规实验得到的结果相符合,从而验证了蒙特卡罗方法在物理研究中是有效和可靠的数值方法。而后将这一方法用于分析“传染病的传播”问题中,蒙特卡罗数值模拟方法对于在不同条件下传染病的扩散进行了分析。该模型对于对传染病的防控措施具有一定的借鉴作用。
关键词蒙特卡罗模拟;MATLAB;伽尔顿板;预测模型
蒙特卡罗(MonteCarlo)方法是一种以“随机数”解决问题的方法,它利用随机数进行统计实验,以求得统计特征值作为待解决问题的数值解[1]。其广泛应用于计算机仿真实验得到相关数据,并分析以得到某些现象规律或者对问题进行求解[2]。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤:构造或描述概率过程;实现从已知概率分布抽样;建立各种估计量。蒙特卡罗方法具有易于操控,方便快速,可应用范围广等优点。
随着计算机技术的发展以及待解决问题的多样性的提升,蒙特卡罗方法广泛应用于经济学[3,4],核物理[5,6],电子等领域[7,8]。文中使用MATLAB平台进行蒙特卡罗模拟,MATLAB平台计算能力强,操作灵活,具有程序结构性强,延展性好等优点[9]。并且MATLAB具有强大的随机数发生器指令,这对蒙特卡罗模拟是十分重要的优点[10]。使用MATLAB进行蒙特卡罗模拟在很多方向取得了成果[11,12]。
本文对“正方形内任意两点的平均距离”、“伽尔顿板”、“传染病的传播”三个问题进行了求解。“正方形内任意两点的平均距离”问题可以通过传统的数学方法求解,使用积分可以求得精确值,但计算较为复杂,有一定难度。通过蒙特卡罗方法求解快捷,简单,得到的结果与数学计算所得结果偏差极小;通过实验可知,伽尔顿板的实验结果成正态分布。本文使用蒙特卡罗数值模拟方法模拟这一结果,并且分析了小球的初始下落位置对实验的影响。
目前新冠肺炎病毒正在扩散,已有很多预测模型对“传染病的传播”问题进行了研究,本文使用蒙特卡罗数值模拟,参考了“不同人对病毒的免疫力”等影响因素,对病毒的扩散进行了分析,得到影响病毒扩散的一些重要因素。这些研究对于病毒扩散的防控措施具有借鉴意义。
1正方形内任意两点的平均距离问题
在正方形内任意找两个点,两个点的之间有一个距离,当这两个点遍历这个正方形,两点之间距离的平均值是多少?该问题可以用数学中四重积分求解。
2伽尔顿板
2.1什么是伽尔顿板
伽尔顿板是由竖直摆放的平整木板,在平板上镶嵌的障碍物,如铁钉,以及在平板下部用竖直隔板形成等宽的凹槽所构成。如果将小球从伽尔顿板的上方漏斗投入,则小球会由于与铁钉的不停碰撞最终落在下方凹槽中的某一个。由于铁钉是按照一定规律均匀镶嵌的,所以小球最终落点是完全随机的。此外,如果投入大量小球或者重复多次试验可发现:落在下方两侧隔板的小球相对较少,落在中央隔板中的小球相对较多,小球的个数从中间凹槽向两侧逐渐减少,小球在凹槽中的分布符合正态分布。此实验经常用于说明统计规律的必然性总是寓于大量的个别事件的偶然性之中,以及统计规律中出现的涨落现象[13]。由于伽尔顿板实验具有随机性和统计性,也可使用蒙特卡罗方法模拟该实验。
2.2建立模型
小球从伽尔顿板上方投入,在伽尔顿板中与铁钉接触,发生碰撞并向两侧弹开并继续下落,最终落入某一凹槽中。模型设定如下:(1)小球直径小于伽尔顿板中任意两铁钉之间距离,保证小球落入下方凹槽;(2)铁钉直径无限小。两层之间铁钉位置相互交错;(3)小球与铁钉碰撞后向左右弹开概率均为50%;(4)小球与铁钉碰撞后下次碰撞目标仅为紧靠该铁钉左右两侧的下层铁钉,如图2中铁钉A与铁钉B、C;(5)小球接触伽尔顿板两侧边缘后向另一侧方向反弹。
3传染病的传播
3.1新型冠状病毒与传染病
近期爆发的新型冠状病毒肺炎具有较高的传染性,如不及时医治,病毒将会导致感染者组织和器官的损伤,甚至死亡。截止2020年3月,国内感染八万余人,其中死亡三千余人,也给国家带来了巨额损失。如能成功预测患病人数,则有利于资源的分配工作,并且有助于对传染病传染的控制,降低损失。预测技术于20世纪40年代被提出,现已成为了一门自成体系的学科,预测方法包括定性预测,综合预测等方法[14]。本文在研究中参考了本次新型冠状病毒肺炎的实例:携带口罩,减少人员流动,避免前往人流密集的地点等手段能有效防止传染的发生。不同人对传染的抵抗力不一样,在早期传染中,年轻人被感染的概率极低,也曾出现过自愈的情况等。通过设置参数,使本文模型更科学,可信度更高,更贴近实际数值,对于新冠病毒的防控具有一定的借鉴意义。
3.2建立模型
本节使用MATLAB建立模型,预测一段时间后总感染人数:(1)设置参数:设已感染传染病的人数为x;每个传染者遇到的未感染人数为N,N是一个随机的参量;采取免疫措施的人数为D;预测感染时间为T后的总感染人数。在人群中存在两种体制:易感染者a与不易感染者b,两者对传染病的抵抗力不同。(2)将参数赋值:设第一批已感染者为1人,x=1;传染时间为7天,一个传染周期为一天;每个感染者每天可能遇到的人数为N=8,10或12。且遇到这三种人数的概率相同;每天每人遇到采取预防措施人数D=2,则可传染的最多人数为(N-D);易感人群a与不易感人群b分布为:7∶3。易感人群被传染概率为80%,不易感人群被传染概率为20%。
4结语
本文使用蒙特卡罗方法以及MATLAB编程,成功对“正方形内任意两点的平均距离”、“伽尔顿板实验”、“传染病的被传播人数的预测”三个课题进行了研究。在“正方形内任意两点的平均距离”课题中,使用MATLAB编程求解的平均距离以及使用数学积分求解的精确平均距离之间的偏差小于2%,且当计算重复20000次以上时,精准度会进一步提升。相比于使用多重积分计算,使用蒙特卡罗方法求解操作难度较低,求解过程简洁,求解效率更高;“伽尔顿板实验”课题中,通过建立的模型,可以得到每颗小球的下落路线,还原真实的伽尔顿板实验。
物理论文投稿刊物：《物理与工程》它的宗旨是面向全国大中专院校物理教师、广大科技工作者和相关人员;交流物理教学经验与教学研究成果;介绍与讨论物理学及其他交叉学科的新发展、新动向及物理学前沿进展;介绍物理学在现代工程技术中的应用，旨在促进物理教学改革向纵深发展。
当投入多个小球时,分析落在凹槽内小球的个数可知:当小球初始下落位点为伽尔顿板中间点时,最终小球的分布为正态分布,模拟结果正确。当小球初始下落位点为任意位点时,最终小球分布呈现“初始下落位点对应凹槽内小球最多,并且向两侧凹槽内小球逐渐减少”的规律;“传染病的被传播人数的预测”模型中,将“传染者可能遇到的人数”,“病毒对不同体质的人传染概率不同”,“采取预防措施”等因素考虑在内,成功预测了在各条件下被传染的人数。证明了采取预防措施能有效限制病毒的传播,研究了传染者接触人数之间相差较大时对病毒传播的影响。
参考文献
[1]尹增谦,管景峰,张晓宏,等.蒙特卡罗方法及应用[J].物理与工程,2002(3):46-50.YINZQ,GUANJF,ZHANGXH,etal.Themontecarlomethodanditsapplication[J].PhysicsandEngineering,2002(3):46-50.(inChinese)
[2]王岩.MonteCarlo方法应用研究[J].云南大学学报(自然科学版),2006(S1):33-36.
作者：郭竞达史旭光
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