本文摘要：虽然数学有其抽象的特征，但它也是表现世界的联系形式的一部分正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。数学的现实性是不以人的意志为转移的客观真理。《 数学进展 》(双月刊)1955年创刊，历来受到我国数学界的重视，获得了较高的评价，它对促进我国数学的发展
虽然数学有其抽象的特征，但它也是“表现世界的联系形式的一部分——正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。数学的现实性是不以人的意志为转移的客观真理。《数学进展》(双月刊)1955年创刊，历来受到我国数学界的重视，获得了较高的评价，它对促进我国数学的发展、培养年轻的数学工作者、开阔广大科技工作者的视野，起到了良好的作用。它所发表的文章，已成为各种学术资格(如高级职称，博士生导师等)评审的有效依据之一。本刊也受到国际同行的关注，与不少国家与地区都有交换。本刊的读者对象是数学研究人员、高校数学教师、科技工作者、研究生和高年级学生。
数学是伟大的无产阶级革命导师马克思、恩格斯生前十分喜爱的科学。马克思晚年从事数学研究达20多年之久，写过很有价值的数学科学论文。恩格斯在谈到由谁来整理出版黑格尔的极为丰富的数学手稿时,称赞马克思是“对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人”。拉法格在回忆马克思时指出：“在高等数学中，他(指马克思)找到最合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运动，他又认为，一种科学只有在成功运用数学时，才算真正达到完善的地步。”恩格斯对数学也进行了深入的研究和探讨，考察和研究了数学中的大量哲学问题。他们对数学的来源和本质，对数学的辩证发展都作了精辟的论述，对唯心论利用数学散布的错误观点作了深刻批判。学习和研究马克思、恩格斯关于数学的哲学理论，对推动数理哲学的研究和发展及指导当前的数学教学改革和数学研究都具有重大的意义。文章结合近代数学教育史，指出了马克思、恩格斯关于数学的哲学理论对数学教学的指 导作用和现实念义。
恩格斯指出全部哲学，特别是近代哲学的重大的基本问题，是思维和存在的关系问题。”数学是研究数贷关系和空间形式的科学，数和形是数学研究的基本对象。唯物论和唯心论反映在数学上的分歧和斗争就在于，数和形是客观存在的，还是主观臆造的?数学来源于现实世界，还是与现实世界无关的“自由创造物和想象物”?在唯心论者看来，“数是上帝创造的”，“数是万物之本原”，数学不过是“感觉的集合”、“纯粹心智的创造”、“纯理性思维的产物”等等。按照他们的观点，数学仿佛是独立于客观物质世界的某个思维王国中的自由乐园。尽管他们之间的意见观点也有很大分歧，但不_过是对修建这块自由乐园各有不同的主张与行动规划而已，唯心论则是他们共同的思想渊源。
思格斯研究了数学与客观物质世界的关系问题。他在肯定了“纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义”的同时，又明确指出：“在纯数学中悟性绝对不能只处理自动的创造物和想象物。数和形的概念不是从其它任何地方,而是从现实世界中得来的。人们曾用来计数，从而用来作第一次算术运算的十个指头，可以是任何别的东西，但是总不能是悟性的自由创造物。……形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料。”
抽象的逻辑思维是数学研究的主要思维形式。因此，抽象表现为数学这门科学的最基本的特征。唯心主义者则常以此k确切的例证，歪曲抽象的逻辑思维在数学中的地位和作用，作为反对唯物主义的工具。他们认为数学是从一些先验的概念和公理出发，单纯用逻辑的方法推演出来的，因此与现实世界是风马牛不相及的。恩格斯深刻地分析了抽象思维在数学中的作用,指出这是“一种在考察对象时撇对象的其它一切特性而仅仅顾及到数目的能力。而这种能力是长期的以经验为依据的历史发展为结果。”数学中的“这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”从现实世界中抽象出来的数学规律，“在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并.目.怍为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律而与现实世界相对立。”客观世界中虽然并不存在没有长宽高的抽象的点，没有厚度和宽度的抽象的线，没有厚度的抽象的面，但其原形极其广泛地存在于客观世界中，建立在这些抽象化了的概念基础上的欧氏几何学是客观世界中空间形式规律性的反映，客观外界是它产生和完善的根源。
牛顿、莱布尼兹发明的微积分是数学发展史乃至整个自然科学发展史上的®要里程碑。恩格斯热情地称赞：”在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样枝看作人类精神的最高胜利了。”伯是在世纪下半叶和整个18世纪，微积分理论却建立在含糊不清的无穷小概念上，牛顿为避免无穷小把导数当作^和叉消朱了的增量比，即rfF和(OT之比。1別纪英国爱尔兰大主教贝克莱激烈攻击微积分，说这些变化率“只不过是消失了的量的鬼魂。”抽象的微积分是“量的鬼魂”，还是对现实世界客观规律性的认识?马克思深入地研究了微分学中的无穷小概念和流数概念，指出求导数的“流数法”是人们“纯粹实验地发现的”，“全部微分学本来就产生于求任意一条肋线上任何一点的切线的问题。”©恩格斯也指出：人们还在设想，微积分是“人类精神的纯粹的自由创造物和想象物，而客观世界决没有与之相适应的东西。可是情形恰恰相反，自然界对这一切想象的数a都提供了原形。”可见抽象的微积分的产生是有着明显的实际背景的，而决不是什么“量的鬼魂”。
数和形是数学研究的对象。这无疑是正确的。但是对数和形的概念的理解不能总是停留在客观现实的直观理解上。其实，随着数学的发展，数和形的表现呈现出多种多样的形式和极其复杂的情况。数和形的概念不再具有与外界现实直技密切相关的性质，而表现为层次愈来愈高的抽象。人类对自然数无穷序列的认识就经历了不同等级的抽象过程。由具体車物到自然数概念这是第一级抽象;由具体的a然数到一般的Q然数《，这是第二级抽象;从任意有限多个自然数到自然数无穷序列这是第三级抽象。卉线在一个方向上有大小，平面在两个方向上冇大小，而立体在三个方向上有大小,这就是玆'冷上通常所说的一维、二维和三维空间。这是现实物质空间性质在数学上的反映，建立在此第础上的四维、五维、…n维空问,无限维空间乃至一般的抽象空间——这些曾被不少人看作是“狮头羊身蛇尾的或半人半马的妖怪”的数学概念，不再直接来源于现实，但它们也足间接地来源于现实的。恩格斯在《自然辩证法>中，从几何学的空间概念出发，从箨术和代数学的数是出发，深入地研究和分析了“无限”这个漑念的抽象过程，指出“不仅有一次的无限，而且还有二次的无限，我们的读者如果髙兴的’，还可以用E!己的想象构造出无限空间里的次数更高的无限。”抽象思维的自由创造，是由来0经验的初始m念和原理的有意识的合乎逻辑的发展。这是不值得奇怪的。
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