本文摘要：摘要在数学规划的领域里定义了互逆规划各自目标函数与约束条件位置相互交换的一对规划.接着指出，尽管互逆规划与对偶规划在表面上似乎类似，但是二者存在5点不同：(1)是否为同一个问题的不同;(2)存在对偶间隙与否的不同;(3)设计变量数目的不同;(4)是否单目标
摘要在数学规划的领域里定义了互逆规划——各自目标函数与约束条件位置相互交换的一对规划.接着指出，尽管互逆规划与对偶规划在表面上似乎类似，但是二者存在5点不同：(1)是否为同一个问题的不同;(2)存在“对偶间隙”与否的不同;(3)设计变量数目的不同;(4)是否单目标与多目标问题的不同;(5)问题合理与否的不同.然后，基于互逆规划的定义，用以审视结构拓扑优化模型，给出如下结果：(1)从这个角度洞悉，在结构优化中，确实有不合理的模型一直被沿用着;(2)找到了修正不合理模型使之合理化的方法;(3)对于给定体积下的柔顺度最小化(MCVC)模型，指出了其不合理的原因;(4)MCVC模型实际是互逆规划的m方，由此建立起其对应的s方，即给出了多个柔顺度约束的体积最小化(MVCC)模型;(5)给出了MVCC模型中的结构柔顺度约束的物理解释和算法，论证了ICM(independentcontinuousandmapping)方法以往关于全局化应力约束的概念和方法;(6)数值算例表明了MCVC与MVCC模型作为互逆规划的差异，且印证了MVCC模型的合理性.MCVC模型在不同体积约束及多工况下不同的权系数时，得到最优拓扑不同;但MVCC模型在多工况柔顺度约束下可得到唯一的最优拓扑.
关键词结构拓扑优化设计,互逆规划,MCVC模型
引言对偶规划是数学规划领域里极为重要的概念之一，具体可以细分为线性规划的对偶规划、非线性规划的对偶规划和正定几何规划的对偶规划等等[1-3].对偶理论作为一个重要的方法论，能将大规模的原规划问题转换为一个规模小得多的对偶规划问题求解，从而可以极大减少计算量，提高算法效率，在优化领域中得到广泛应用.1979年，Fleury将对偶规划引到结构优化领域，进行建立模型和求解算法的研究[4-6].
1984年，钱令希团队用对偶序列二次规划算法求解结构优化问题[7].结构优化中经典的优化求解算法如CONLIN(convexlinearizationmethod)[8]及MMA(methodofmovingasymptotes)[9]均基于对偶算法.文献[10-12]等也是此方面的研究.隋允康等[13-14]结合累积迭代信息策略，研究了对偶算法在结构优化中的方法和应用.在连续体结构拓扑优化中，设计变量数量通常是极大的，对一个工程实际问题，设计变量数量达到上百万都有可能.对大规模的优化模型，如果直接对原问题进行求解，其计算量将是无法接受的.
因而，结构拓扑优化ICM方法一直特别重视应用对偶求解算法[1-3].论及结构拓扑优化方法，应当追溯到1988年Bendsoe与Kikuchi[15]提出的均匀化方法.从那时起，连续体结构拓扑优化首次被提出并且得到了快速发展，涌现的许多方法中，包含SIMP(solidisotropicmaterialwithpenalization)方法[16]、拓扑导数方法[17-18]、ESO(evolutionarystructuraloptimization)方法[19]、水平集方法[20]、相场法[21]、MMC(movingmorphablecomponents)方法[22]等等.对各类方法的综述可参阅Rozvany[23]和Sigmund等[24]的文献.各种方法基本上集中在建模途径和求解效率上，而对于优化模型是否合理性则缺乏注意.
为此，可以考察一下连续体结构拓扑优化的第一篇论文[15]，文中取体积约束下柔顺度最小化为研究模型，为方便叙述，称其为MCVC(minimumcomplianceswithavolumeconstraint)模型.实际上，不少方法在目标函数和约束条件的选取上，都因循了MCVC模型的做法.客观地说，MCVC模型模型存在一些不合理之处，应当予以指出[25-26]：(1)需要事先指定一个体积约束值，其实这是事先难以确定的，而且指定不同的体积约束值，所得到的结构拓扑构型的差别很大;(2)多工况情况下，多个柔顺度目标函数需要加权组合成单目标函数，而权系数的指定亦没有科学的依据，且结构拓扑构型依赖于权系数的选择.或许因为先入为主的思维定势，桎梏了研究者思考MCVC模型是否合理的头脑.或许是由于该模型易于显式化，又只有一个体积约束，导致模型易于建立和求解，在连续体拓扑优化的早期发展中，避免了显式建模与高效求解这两大困难，有利于研究者把精力集中在探求不同的方法上，因而MCVC模型起了很好的、不可替代的作用，直到现在仍在起作用.
模型中目标函数和约束条件的设置是否合理?历经三十多年来的发展，到了需要明确揭示的时候了，也亟待需要予以解决.为此，隋允康等曾经将MCVC模型同MVDC(minimumvolumewithdisplacementconstraints)模型进行了比较研究[25-26]，说明MCVC模型的不合理性.然而，MCVC模型与MVDC模型不具有完全的对应性，已经发表的两篇文章的说理性还不够充分.
为了彻底解决如何建立合理的结构优化模型问题，本文旨在纯数学角度的思考，类比对偶规划，在数学规划的领域里，首次提出互逆规划的概念，进行了相关的研究.接着，用新概念和方法洞察连续体结构拓扑优化模型，建立了与MCVC模型互逆的MVCC(minimumvolumewithcomplianceconstraints)，即柔顺度约束下体积极小化模型.在MVCC模型中，存在柔顺度约束条件，本文对于柔顺度约束的物理意义进行了探讨，其中包含在ICM方法中冠名应力全局化的一种形式[2-3,27-28].
本文的算例验证了MVCC模型的合理性，从而印证了建立互逆规划概念和方法的意义.1从对偶规划到互逆规划在线性规划、非线性规划乃至在具有高度非线性性质的几何规划里，先后建立了各自的对偶理论.尽管这些不同的对偶理论各具个性，但是它们也具有共性.对偶理论已经成为相关问题的重要理论基础和有效求解途径.
正项几何规划或正定几何规划的原--对偶关系远比上述复杂得多，原因是它针对高度非线性的幂函数正项多项式，借助于Cauchy不等式进行推导，得到的对偶规划属于线性规划的一种，其对偶规划可以用线性规划的单纯形算法求解.线性规划和非线性规划的对偶变量源于Lagrange乘子，对应于每一个约束条件，或者说，对偶变量的数值表达了每一个约束对于最优解的贡献大小.正项几何规划中，对偶变量对应于原规划的目标函数和约束条件的每一项，或者说，对偶变量的数值表达了每一项对于最优解的贡献大小.
也就是说，在正项几何规划中，对偶变量关注到更为细致的层次，这一特点与对偶规划可用线性规划求解的特点在一起，导致正项几何规划受到了青睐.尽管如此，但是正项几何规划的求解范围有局限性：不仅只适用于幂函数形式的函数，而且要求函数的每一项都是正项，对于含有负项的函数不得不进行近似处理.鉴于它不具有普遍性，此处就不列出相关的原--对偶规划的数学形式了.由于线性规划和非线性规划的对偶理论均具有普遍性，值得深入思考.虽然它们有各自的个性，例如非线性程度不同、显式与隐式的差别等等，但是它们具有共性：(1)原--对偶问题表达的是同一个最优化问题的两个方面.(2)当对偶间隙等于零时，可以先求解对偶问题，然后求出原问题的解.对偶理论在结构优化中颇有应用价值.结构优化中最常见的问题大多是隐式的式(2a)，需要采用数学和力学的方法建立近似显式模型.
由于设计变量数N通常比约束数M大得许多，通过求解一个小得多的对偶问题式(2b)，可以极大提高求解原问题的效率.在连续体结构拓扑优化中，因N更是远大于M，效率的提高更为明显.因之，ICM方法一直采用对偶序列二次规划算法求解所建立的结构拓扑优化模型[1-3].尽管对偶理论的应用十分有效，然而不少研究者在建模中，实际运用了同对偶规划类似的另一种规划，本文称之为互逆规划，具体作如下构造.
2从MCVC模型到MVCC模型
基于互逆规划的定义及其同对偶规划的比较，去审视结构优化模型，就可以做到两点：(1)表明在研究的结构优化中，确实有不合理的模型一直被沿用;(2)找到修正不合理的模型使之合理化的方法.以连续体结构刚度拓扑优化问题为例，被广泛研究的是MCVC模型。
3结构柔顺度上限的物理意义
不难看出，给出的MVCC模型比MCVC模型合理，原因在于：(1)追求体积最小化符合工程设计的常规做法;(2)MVCC模型避免了MCVC模型选取给定体积的先验性做法;(3)在多载荷工况下，该模型依然是单目标问题.不过，若想用MVCC模型代替MCVC模型，还是有前提条件的：必须给出结构柔顺度约束的物理解释，并且提供结构柔顺度上限的计算途径.
对比可以看到，MVCC模型可以关联上全局化应力约束条件，对应于应力约束值100MPa，得到唯一的最优拓扑.但MCVC模型对不同的体积比约束值，会得到不同的最优拓扑，对应的最大Mises应力也不同.无法预先通过指定体积比约束值使得最优拓扑结构的应力满足约束强度条件.多工况的算例计算结果同样验证了上述结论，篇幅所限，不再列举.
4结语
本文的贡献体现在数学规划和结构拓扑优化模型的合理性两个方面：(1)对比对偶规划概念，提出了互逆规划的概念，详细阐述了两种规划之间的区别.(2)在结构拓扑优化中应用互逆规划理论，明确了MCVC模型与MVCC模型并不是一对对偶规划问题，而是一对互逆规划问题.
(3)作为互逆规划的m方的MCVC模型在不同的体积比下，会得到不同的最优拓扑，实际工程中难以确定选用哪一个是合理的.不同方案的强度指标是不同的，但预先又无法确定一个体积比约束能够使强度条件正好满足.(4)MCVC模型在多工况情况下，还面临不同工况的柔顺度在进行多目标组合时的加权困扰，因为指定不同的加权系数会得到不同的最优拓扑，导致此模型的合理性受到质疑.
(5)借助于互逆规划，推导得到了作为互逆规划s方的MVCC模型，其合理性体现在多载荷工况下，它也是一个单目标问题，同时免除了MCVC模型先验决定体积上限的不合理性.(6)阐释了MVCC模型中结构柔顺度约束的物理意义，并且推导出来了结构柔顺度约束上限或称为许用结构应变能的计算公式，进一步说明了ICM方法关联于全局化应力约束的工作.
(7)介绍了在MVCC模型上稍加处理就可以较满意地解决结构拓扑优化的应力约束问题，该算法极大地节省了应力约束处理的昂贵计算量.(8)数值算例验证了MCVC模型存在的不足以及MVCC模型的合理性.从互逆规划的观念出发，呼吁从事结构优化的国内外同仁们，能够关注本文所意识到的问题及其对策，以便使包括连续体拓扑在内的结构优化研究，能够与时俱进、稳健地得到发展.
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